Fonksiyonlar

Ters Fonksiyon Nasıl Bulunur?

TYTAYT10 dakikalık okuma23 Eylül 2026

Bir fonksiyon girdiyi çıktıya götürür; ters fonksiyon ise çıktıdan yola çıkıp girdiye geri döner. Katlanmış bir kâğıdı katları tersten açarak eski hâline getirmek gibi. Bu yazıda ters fonksiyonun ne zaman var olduğunu, adım adım nasıl bulunduğunu, kesirli, köklü ve üslü fonksiyonlarda nelere dikkat edileceğini, tersi bulmadan değer hesaplamayı ve grafikteki simetriyi ele alıyoruz.

Ters fonksiyon nedir?

Önce şunları bil

Bu yazıyı daha rahat anlamak için birebir ve örten fonksiyon kavramlarını, bileşke fonksiyonu ve denklemde bir bilinmeyeni yalnız bırakmayı biliyor olman yeterli.

Bu kavramlar yeni geliyorsa önce Birebir ve Örten Fonksiyon Nedir? ve Bileşke Fonksiyon Konu Anlatımı yazılarına göz at.

Bir kâğıdı önce ikiye, sonra köşesinden katladığını düşün. Başlangıçtaki düz kâğıda dönmek için katları ters sırayla açarsın: önce son katı, sonra ilkini. Ters fonksiyon da budur: fonksiyonun yaptığını geri alır.

Matematikte şöyle yazılır: $f : A \to B$ birebir ve örten bir fonksiyon olsun. $f (a) = b$ ise $f^{- 1} (b) = a$ dır. $f^{- 1}$ fonksiyonu $B$ den $A$ ya gider ve " $f$ nin tersi" diye okunur.

f (a) = b \Leftrightarrow f^{- 1} (b) = a

Hap bilgi

$f (a) = b$ ise $f^{- 1} (b) = a$ dır: ters fonksiyon çıktıdan girdiye döner.

$f : A \to B$ ise $f^{- 1} : B \to A$ dır; tanım ve değer kümeleri yer değiştirir.

Dikkat

$f^{- 1} (x)$ ile $\frac{1}{f (x)}$ aynı şey değildir.

Buradaki $- 1$ bir üs değil, ters fonksiyon işaretidir.

Ters fonksiyon ne zaman vardır?

Geri dönebilmek için iki şey gerekir. Her çıktının tek bir girdiden gelmesi gerekir, yoksa geri dönerken hangi girdiye gideceğimizi bilemeyiz. Bu birebirliktir. Değer kümesindeki her elemanın bir girdiden gelmesi de gerekir, yoksa boşta kalan eleman hiçbir yere dönemez. Bu da örtenliktir.

Hap bilgi

$f^{- 1}$ in fonksiyon olarak var olması için $f$ nin birebir ve örten olması gerekir ve yeter.

Ters fonksiyon aramaya başlamadan önce bu şartı kontrol et.

Örnek

$f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = x^{2}$ olsun.

$f$ nin tersi var mıdır?

$f (- 3) = f (3) = 9$ olduğu için $f$ birebir değildir. Geri dönerken $9$ dan hem $- 3$ e hem $3$ e gitmek gerekirdi.

Ayrıca negatif sayılara hiç ok gelmez; $f$ örten de değildir.

Bu hâliyle $f$ nin tersi yoktur.

Tanım ve değer kümesi uygun biçimde daraltılırsa aynı kuralın tersi olabilir. $f : [0, \infty) \to [0, \infty)$ , $f (x) = x^{2}$ birebir ve örtendir; tersi $f^{- 1} (x) = \sqrt{x}$ tir. Karekök fonksiyonunun yalnızca negatif olmayan değeri vermesinin sebebi budur.

Adım adım ters fonksiyon bulma

Kural verilmiş bir fonksiyonun tersini bulmak için üç adım yeter:

$y = f (x)$ yaz.
Denklemi $x$ i yalnız bırakacak biçimde çöz.
$x$ ile $y$ nin yerini değiştir.

Üçüncü adımın sebebi şudur: ikinci adımın sonunda elinde $x = f^{- 1} (y)$ biçiminde bir eşitlik vardır. Fonksiyonların değişkenini $x$ ile yazmak alışkanlık olduğu için harfler değiştirilir.

Örnek

$f (x) = 4 x - 7$ olsun.

$f^{- 1} (x)$ i bulalım.

$y = 4 x - 7$ yazalım.

$x$ i yalnız bırakalım: $4 x = y + 7$ ve $x = \frac{y + 7}{4}$ .

Harfleri değiştirelim: $f^{- 1} (x) = \frac{x + 7}{4}$ .

Kontrol: $f (2) = 8 - 7 = 1$ ve $f^{- 1} (1) = \frac{1 + 7}{4} = 2$ . Başladığımız yere döndük.

Doğrusal fonksiyonlar için bu işlemin genel sonucu doğrudan kullanılabilir:

f (x) = a x + b (a \neq 0) \Rightarrow f^{- 1} (x) = \frac{x - b}{a}

Bunu "ters işlem, ters sıra" diye hatırlayabilirsin. $f$ önce $a$ ile çarpar, sonra $b$ ekler. $f^{- 1}$ önce $b$ çıkarır, sonra $a$ ya böler.

Hap bilgi

Ters fonksiyonu bulduktan sonra bir sayıyla kontrol et: $f (a) = b$ ise $f^{- 1} (b) = a$ çıkmalı.

Doğrusal fonksiyonda $f (x) = a x + b$ ise $f^{- 1} (x) = \frac{x - b}{a}$ .

Kesirli fonksiyonun tersi

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ biçimindeki fonksiyonlarda adımlar aynıdır ama cebir biraz daha uzundur.

Örnek

$f (x) = \frac{3 x - 2}{x + 4}$ olsun.

$f^{- 1} (x)$ i bulalım.

$y = \frac{3 x - 2}{x + 4}$ yazıp paydayı karşıya atalım: $y (x + 4) = 3 x - 2$ .

Dağıtalım: $x y + 4 y = 3 x - 2$ .

$x$ li terimleri bir tarafta toplayalım: $x y - 3 x = - 4 y - 2$ , yani $x (y - 3) = - 4 y - 2$ .

$x = \frac{- 4 y - 2}{y - 3}$ .

Harfleri değiştirelim: $f^{- 1} (x) = \frac{- 4 x - 2}{x - 3}$ .

Kontrol: $f (0) = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}$ ve $f^{- 1} (- \frac{1}{2}) = \frac{2 - 2}{- \frac{1}{2} - 3} = 0$ .

Bu işlemi genel harflerle yaparsak akılda kalıcı bir kalıp çıkar:

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d} \Rightarrow f^{- 1} (x) = \frac{- d x + b}{c x - a}

Kalıbı hatırlamanın yolu: $a$ ile $d$ yer değiştirir ve ikisinin de işareti değişir; $b$ ile $c$ olduğu yerde kalır. Kalıp $a d - b c \neq 0$ için geçerlidir; $a d - b c = 0$ ise fonksiyon sabittir ve tersi yoktur.

Hap bilgi

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ ise $f^{- 1} (x) = \frac{- d x + b}{c x - a}$ dir.

$a$ ile $d$ yer ve işaret değiştirir, $b$ ile $c$ kalır.

Dikkat

$a + d = 0$ ise kalıp fonksiyonun kendisini verir; böyle bir fonksiyon kendi tersidir.

Örneğin $f (x) = \frac{x + 4}{2 x - 1}$ için $a = 1$ ve $d = - 1$ dir. Kalıp $f^{- 1} (x) = \frac{x + 4}{2 x - 1}$ verir, yani $f^{- 1} = f$ dir.

Tersin tanım ve görüntü kümesi

$f : A \to B$ birebir örtense $f^{- 1} : B \to A$ dır. Yani tersin tanım kümesi $f$ nin görüntü kümesidir; tersin görüntü kümesi de $f$ nin tanım kümesidir. Bu bilgi hem kontrol hem kısayol olarak işe yarar.

Örnek

$f (x) = \frac{3 x - 2}{x + 4}$ ve $f^{- 1} (x) = \frac{- 4 x - 2}{x - 3}$ olsun.

İki fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini karşılaştıralım.

$f$ nin tanım kümesi $ℝ - {- 4}$ tür. Görüntü kümesi $ℝ - {3}$ tür, çünkü pay ile paydadaki $x$ katsayılarının oranı $\frac{3}{1} = 3$ tür.

$f^{- 1}$ in tanım kümesi $ℝ - {3}$ tür. Görüntü kümesi $ℝ - {- 4}$ tür, çünkü bu kez oran $\frac{- 4}{1} = - 4$ tür.

İki küme yer değiştirdi.

Bu ilişkiyi tersine de kullanabilirsin: bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmakta zorlanıyorsan, tersini bulup tersin tanım kümesine bakabilirsin.

Örnek

$f : [- 1, \infty) \to (- \infty, 3]$ , $f (x) = 3 - \sqrt{x + 1}$ olsun.

$f^{- 1}$ i tanım kümesiyle birlikte bulalım.

$y = 3 - \sqrt{x + 1}$ yazalım. Kök negatif olmadığı için $y \leq 3$ tür.

$\sqrt{x + 1} = 3 - y$ . İki tarafın karesini alalım: $x + 1 = (3 - y)^{2}$ .

$x = (3 - y)^{2} - 1$ .

Harfleri değiştirelim: $f^{- 1} : (- \infty, 3] \to [- 1, \infty)$ , $f^{- 1} (x) = (3 - x)^{2} - 1$ .

Kontrol: $f (8) = 3 - 3 = 0$ ve $f^{- 1} (0) = 9 - 1 = 8$ .

Köklü, ikinci dereceden ve üslü fonksiyonlar

Bu fonksiyonlarda üç adım yine aynıdır. Fark, tanım ve değer kümelerinin tersin kuralına eklenmesi gerekmesidir. Küme yazılmazsa bulunan kural başka bir fonksiyonu anlatır.

Örnek

$f : [2, \infty) \to [1, \infty)$ , $f (x) = \sqrt{x - 2} + 1$ olsun.

$f^{- 1} (x)$ i bulalım.

$y = \sqrt{x - 2} + 1$ yazalım. Burada $y \geq 1$ dir.

$y - 1 = \sqrt{x - 2}$ . İki tarafın karesini alalım: $(y - 1)^{2} = x - 2$ .

$x = (y - 1)^{2} + 2$ .

Harfleri değiştirelim: $f^{- 1} : [1, \infty) \to [2, \infty)$ , $f^{- 1} (x) = (x - 1)^{2} + 2$ .

Kontrol: $f (6) = \sqrt{4} + 1 = 3$ ve $f^{- 1} (3) = 4 + 2 = 6$ .

Dikkat

Tersin tanım kümesini yazmayı unutma.

$(x - 1)^{2} + 2$ kuralı $ℝ$ üzerinde birebir değildir. Bu kural ancak $x \geq 1$ ile birlikte $f$ nin tersidir; tanım kümesi, $f$ nin görüntü kümesi olan $[1, \infty)$ dur.

İkinci dereceden bir fonksiyon, tepe noktasından başlayan bir aralıkta birebirdir. O aralıkta tam kareye tamamlama tersini kolayca verir.

Örnek

$f : [1, \infty) \to [- 3, \infty)$ , $f (x) = x^{2} - 2 x - 2$ olsun.

$f^{- 1} (x)$ i bulalım.

Tam kareye tamamlayalım: $x^{2} - 2 x - 2 = (x - 1)^{2} - 3$ . Yani $y = (x - 1)^{2} - 3$ .

$(x - 1)^{2} = y + 3$ . Burada $x \geq 1$ olduğu için $x - 1 \geq 0$ dır ve karekökün yalnız pozitif değeri alınır: $x - 1 = \sqrt{y + 3}$ .

$x = 1 + \sqrt{y + 3}$ ve $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x + 3}$ .

Kontrol: $f (3) = 9 - 6 - 2 = 1$ ve $f^{- 1} (1) = 1 + \sqrt{4} = 3$ .

Üslü fonksiyonun tersi logaritmadır. $f : ℝ \to (3, \infty)$ , $f (x) = 2^{x - 1} + 3$ için $y - 3 = 2^{x - 1}$ ve $x - 1 = \log_{2} (y - 3)$ bulunur. Öyleyse $f^{- 1} (x) = \log_{2} (x - 3) + 1$ dir. Kontrol: $f (3) = 4 + 3 = 7$ ve $f^{- 1} (7) = \log_{2} 4 + 1 = 3$ .

Hap bilgi

Köklü ve ikinci dereceden fonksiyonun tersinde tanım kümesi kuralın bir parçasıdır.

$f^{- 1}$ in tanım kümesi $f$ nin görüntü kümesidir.

Tersi bulmadan değer hesaplama

Yalnızca $f^{- 1} (a)$ gibi tek bir değer isteniyorsa tersin kuralını bulmak şart değildir. $f^{- 1} (a) = b$ demek $f (b) = a$ demektir. Yani $f (x) = a$ denklemini çözmek yeter.

Örnek

$f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = x^{3} + 2 x + 1$ olsun. Bu fonksiyon artandır; birebir ve örtendir.

$f^{- 1} (4)$ kaçtır?

$f^{- 1} (4) = b$ ise $f (b) = 4$ tür: $b^{3} + 2 b + 1 = 4$ , yani $b^{3} + 2 b - 3 = 0$ .

$b = 1$ denendiğinde $1 + 2 - 3 = 0$ sağlanır.

$f$ birebir olduğu için başka çözüm yoktur. $f^{- 1} (4) = 1$ dir.

Bu fonksiyonun tersini kural olarak yazmak kolay değildir, ama değer sorusu birkaç satırda çözüldü. Soruda $f^{- 1}$ görünce ilk iş olarak tersin kuralını bulmaya kalkma; istenen şeyin bir değer mi yoksa kural mı olduğuna bak.

Hap bilgi

$f^{- 1} (a) = b \Leftrightarrow f (b) = a$ .

Tek bir değer isteniyorsa $f (x) = a$ denklemini çöz; tersin kuralına gerek yok.

Değer sorularında farklı kalıplar

Değer soruları farklı biçimlerde gelebilir. Hepsinin çözümü aynı eşdeğerliğe dayanır: $f^{- 1} (a) = b \Leftrightarrow f (b) = a$ .

Örnek

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{3}$ olsun.

$f (5)$ kaçtır?

$f (5) = b$ diyelim. Bu, $f^{- 1} (b) = 5$ demektir.

$\frac{b + 1}{3} = 5$ ve $b = 14$ .

$f (5) = 14$ tür. Kontrol: $f$ yi bulursak $f (x) = 3 x - 1$ ve $f (5) = 14$ .

Örnek

$f (2 x - 1) = 3 x + 2$ olsun.

$f^{- 1} (8)$ kaçtır?

$f^{- 1} (8) = b$ ise $f (b) = 8$ dir. Verilen eşitlikte sağ tarafı $8$ yapan $x$ i bulalım: $3 x + 2 = 8$ ve $x = 2$ .

Bu $x$ için parantezin içi $2 x - 1 = 3$ tür. Yani $f (3) = 8$ .

$f^{- 1} (8) = 3$ tür.

Dikkat

İkinci örnekte cevap $x = 2$ değil, parantezin içi olan $3$ tür.

$f^{- 1} (8)$ , $f$ ye hangi sayı verilince $8$ çıktığını sorar; $f$ ye verilen sayı parantezin içidir.

Bileşke ile birlikte gelen değer sorularında da sıra aynıdır: içten dışa. $f (x) = 2 x + 3$ ve $g (x) = x^{2}$ ise $(f^{- 1} \circ g) (3) = f^{- 1} (9)$ olur. $f (b) = 9$ denkleminden $2 b + 3 = 9$ ve $b = 3$ bulunur; sonuç $3$ tür.

Hap bilgi

Gündelik hayatta

Santigrattan Fahrenhayta çeviren $f (C) = 1,8 C + 32$ fonksiyonunun tersi $f^{- 1} (F) = \frac{F - 32}{1,8}$ olur.

Yurt dışındaki bir hava durumunda görülen $77$ derece Fahrenhayt, $\frac{77 - 32}{1,8} = 25$ derece santigrattır.

Ters fonksiyonun özellikleri

$(f^{- 1} \circ f) (x) = x$ ve $(f \circ f^{- 1}) (x) = x$ . Fonksiyon ile tersi birbirini götürür.
$(f^{- 1})^{- 1} = f$ . Tersin tersi fonksiyonun kendisidir.
$(f \circ g)^{- 1} = g^{- 1} \circ f^{- 1}$ . Bileşkenin tersinde sıra döner.

Örnek

$f (x) = 2 x + 1$ ve $g (x) = x - 3$ olsun.

$(f \circ g)^{- 1}$ i iki yoldan bulup karşılaştıralım.

Birinci yol: $(f \circ g) (x) = 2 (x - 3) + 1 = 2 x - 5$ . Tersi $\frac{x + 5}{2}$ tir.

İkinci yol: $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{2}$ ve $g^{- 1} (x) = x + 3$ . $g^{- 1} (f^{- 1} (x)) = \frac{x - 1}{2} + 3 = \frac{x + 5}{2}$ .

İki yol aynı sonucu verdi.

Bu özellikler bileşke sorularında bir fonksiyonu yalnız bırakmak için kullanılır. Bir eşitliğin iki tarafına da soldan $f^{- 1}$ uygulamak, $f$ yi ortadan kaldırır.

Örnek

$f (x) = 2 x - 3$ ve $(f \circ g) (x) = 4 x + 1$ olsun.

$g (x)$ i bulalım.

$f (g (x)) = 4 x + 1$ eşitliğinin iki tarafına $f^{- 1}$ uygulayalım: $g (x) = f^{- 1} (4 x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 3}{2}$ olduğu için $g (x) = \frac{4 x + 1 + 3}{2} = 2 x + 2$ .

Kontrol: $f (2 x + 2) = 2 (2 x + 2) - 3 = 4 x + 1$ .

Kendi tersi olan fonksiyonlar

Bazı fonksiyonlar kendi tersidir: $f^{- 1} = f$ . Bu, fonksiyonu iki kez uygulamanın her sayıyı yerine getirmesi demektir: $(f \circ f) (x) = x$ .

$f (x) = - x$ için $f (f (x)) = - (- x) = x$ .
$f (x) = 5 - x$ için $f (f (x)) = 5 - (5 - x) = x$ .
$f (x) = \frac{1}{x}$ için ( $x \neq 0$ ) $f (f (x)) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$ .
$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ biçiminde olup $a + d = 0$ olan kesirli fonksiyonlar ( $a d - b c \neq 0$ şartıyla).

Kendi tersi olan bir fonksiyonun grafiği $y = x$ doğrusuna göre kendisiyle simetriktir. Bunun sebebini bir sonraki bölümdeki simetri kuralı açıklıyor.

Hap bilgi

$f$ kendi tersiyse $(f \circ f) (x) = x$ tir.

Kesirli fonksiyonda bunun işareti $a + d = 0$ olmasıdır.

Grafikte ters fonksiyon

$(a, b)$ noktası $f$ nin grafiğindeyse $f (a) = b$ dir; bu da $f^{- 1} (b) = a$ , yani $(b, a)$ noktasının $f^{- 1}$ in grafiğinde olması demektir. $(a, b)$ ile $(b, a)$ noktaları $y = x$ doğrusuna göre simetriktir.

Hap bilgi

$f$ ile $f^{- 1}$ in grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir.

$f^{- 1}$ in grafiğini çizmek için $f$ nin grafiğini $y = x$ doğrusuna göre yansıtman yeter.

Bu simetriden önemli bir sonuç çıkar: $f$ ile $f^{- 1}$ in grafikleri nerede kesişir? $f$ artan bir fonksiyonsa kesişim noktaları $y = x$ doğrusu üzerindedir. Yani $f (x) = f^{- 1} (x)$ yerine daha kolay olan $f (x) = x$ denklemini çözmek yeter.

Örnek

$f (x) = 2 x - 3$ olsun.

$f$ ile $f^{- 1}$ in grafiklerinin kesişim noktasını bulalım.

$f$ artan olduğu için $f (x) = x$ denklemini çözeriz: $2 x - 3 = x$ ve $x = 3$ .

Kesişim noktası $(3, 3)$ tür.

Kontrol: $f^{- 1} (x) = \frac{x + 3}{2}$ ve $f^{- 1} (3) = 3$ . Nokta iki grafikte de var.

Grafikten değer okumak da aynı simetriye dayanır. $f$ nin grafiği $(2, 5)$ noktasından geçiyorsa $f (2) = 5$ tir ve buradan hiç hesap yapmadan $f^{- 1} (5) = 2$ bulunur. Ayrıca $f$ artansa tersi de artandır, azalansa tersi de azalandır; yansıtma bu özelliği değiştirmez.

Dikkat

Bu kısayol yalnızca artan fonksiyonlarda güvenlidir.

$f (x) = - x^{3}$ azalandır ve tersi $f^{- 1} (x) = - \sqrt[3]{x}$ tir. $f (1) = - 1$ ve $f^{- 1} (1) = - 1$ olduğu için $(1, - 1)$ noktası iki grafikte de vardır, ama $y = x$ doğrusu üzerinde değildir.

Sınavda ters fonksiyon

Sınavda nasıl çıkar

Temel düzeyde (TYT) ters fonksiyon doğrusal bir fonksiyonla karşına çıkabilir: $f^{- 1} (x)$ kuralı ya da $f^{- 1} (a)$ gibi tek bir değer istenir. Değer sorusunda tersi bulmadan $f (x) = a$ denklemini çözmek zaman kazandırır.

İleri düzeyde (AYT) kesirli, köklü ve üslü fonksiyonların tersi, $(f \circ g)^{- 1}$ ile işlem, ters fonksiyonun tanım kümesi ve grafikteki simetri öne çıkar.

Soruyu okurken kendine üç şey sor. İstenen bir kural mı, bir değer mi? Fonksiyon gerçekten birebir ve örten mi? Tersin tanım kümesi yazılması gereken bir durum var mı? Bu üç soru birçok hatayı baştan önler.

Sık yapılan hatalar

Hata	Doğrusu
$f^{- 1} (x) = \frac{1}{f (x)}$ sanmak	$- 1$ üs değil, ters işareti
Her fonksiyonun tersi var sanmak	Birebir ve örten olmalı
Harfleri değiştirmeyi unutmak	Son adımda $x$ ile $y$ yer değiştirir
Köklü fonksiyonun tersinde kümeyi yazmamak	$f^{- 1}$ in tanım kümesi $f$ nin görüntü kümesi
Kesirli kalıpta $b$ ile $c$ yi değiştirmek	Yalnız $a$ ile $d$ yer ve işaret değiştirir
$(f \circ g)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ yazmak	Sıra döner: $g^{- 1} \circ f^{- 1}$
Değer sorusunda önce tersin kuralını aramak	$f (x) = a$ denklemini çöz
Her fonksiyonda $f = f^{- 1}$ kesişimini $y = x$ te aramak	Yalnız artan fonksiyonda güvenli

Bu tabloyu bir kez gözden geçirmek bile işe yarar, ama asıl koruma her sorunun sonunda bir sayıyla kontrol yapmaktır: $f (a) = b$ ise $f^{- 1} (b) = a$ çıkıyor mu?

Hap bilgi özeti

$f (a) = b$ ise $f^{- 1} (b) = a$ dır: ters fonksiyon çıktıdan girdiye döner.
$f : A \to B$ ise $f^{- 1} : B \to A$ dır; tanım ve değer kümeleri yer değiştirir.
$f^{- 1}$ in fonksiyon olarak var olması için $f$ nin birebir ve örten olması gerekir ve yeter.
Ters fonksiyon aramaya başlamadan önce bu şartı kontrol et.
Ters fonksiyonu bulduktan sonra bir sayıyla kontrol et: $f (a) = b$ ise $f^{- 1} (b) = a$ çıkmalı.
Doğrusal fonksiyonda $f (x) = a x + b$ ise $f^{- 1} (x) = \frac{x - b}{a}$ .
$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ ise $f^{- 1} (x) = \frac{- d x + b}{c x - a}$ dir.
$a$ ile $d$ yer ve işaret değiştirir, $b$ ile $c$ kalır.
Köklü ve ikinci dereceden fonksiyonun tersinde tanım kümesi kuralın bir parçasıdır.
$f^{- 1}$ in tanım kümesi $f$ nin görüntü kümesidir.
$f^{- 1} (a) = b \Leftrightarrow f (b) = a$ .
Tek bir değer isteniyorsa $f (x) = a$ denklemini çöz; tersin kuralına gerek yok.
Gündelik hayatta
Santigrattan Fahrenhayta çeviren $f (C) = 1,8 C + 32$ fonksiyonunun tersi $f^{- 1} (F) = \frac{F - 32}{1,8}$ olur.
Yurt dışındaki bir hava durumunda görülen $77$ derece Fahrenhayt, $\frac{77 - 32}{1,8} = 25$ derece santigrattır.
$f$ kendi tersiyse $(f \circ f) (x) = x$ tir.
Kesirli fonksiyonda bunun işareti $a + d = 0$ olmasıdır.
$f$ ile $f^{- 1}$ in grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir.
$f^{- 1}$ in grafiğini çizmek için $f$ nin grafiğini $y = x$ doğrusuna göre yansıtman yeter.

Sık sorulanlar

Ters fonksiyon nedir?

Bir fonksiyonun yaptığını geri alan fonksiyondur. f fonksiyonu a yı b ye götürüyorsa, ters fonksiyon b yi a ya geri götürür.

Her fonksiyonun tersi var mıdır?

Hayır. Bir fonksiyonun tersinin olması için birebir ve örten olması gerekir. Örneğin gerçel sayılarda tanımlı kare fonksiyonunun tersi yoktur; tanım ve değer kümesi negatif olmayan sayılarla sınırlanırsa tersi karekök fonksiyonu olur.